郭永新教授：数学物理中的现代几何方法
科学出版社 2026-11-05 15:29:21
20 世纪划时代哲学家L. Wittgenstein 认为 ，语言的界限即世界的界限，语言的逻辑形式决定了我们如何系统性地理解世界的内在联系 。从公元前3 世纪Euclid 的《几何原本》到现代微分几何学，几何语言的迭代不断拓展人类对几何本质的理解边界，几何方法的每一次变革都推动了科学理论的突破，几何学两千多年的发展进程恰是Wittgenstein 语言哲学的完美例证。
Euclid 几何学是人类科学史上运用演绎推理的光辉典范，它以点-线-面为元素，依据五大公设，构建了定义-公设-定理-证明的公理化体系。Euclid 几何学不仅主导了数学近两千年的发展，而且深刻影响了Newton 力学绝对时空观的形成。19 世纪初，C. F. Gauss、J. Bolyai 与N. Lobachevsky 大胆突破了Euclid 几何学第五公设的“刚性”局限，开创了非Euclid 几何学的新天地，其中C. F. Gauss 运用曲面的度规内蕴地导出了曲面的Gauss 曲率，由此开启了内蕴几何的新范式，B. Riemann 将这种内蕴几何学从二维曲面推广到任意维流形上(1854 年)。20 世纪初，A. Einstein 运用Levi-Civita 所完善的Riemann 流形上的张量分析，成功地建立了广义相对论的时空几何理论，从而实现了引力场的几何化(1915年)。虽然张量分析可应用于诸多领域，且能借助张量在坐标变换下的协变性表达物理规律的对称性，但是它的适用性依赖于其所处空间的一个非奇异坐标系。然而，一般的微分流形不可能用一个非奇异坐标系来整体覆盖，这使得一个坐标系中的张量分量不能内蕴地表达微分流形上的张量场，因而导致张量分析在处理整体拓扑性质时尤显能力不足。张量分析的局限性催生了微分流形的Cartan 全局分析法(20 世纪20~30 年代)，其基本要素是流形上的微分形式及外微分，它内蕴地表述了流形上的反对称协变张量场和微分运算。据此可对流形进行结构分析，并可简洁而深刻地表述诸多领域的物理规律，如广义相对论、量子场论、规范场论、Maxwell 电磁场理论、热力学、分析力学、弹性力学等领域的动力学方程可简洁地表示成外微分形式。毋庸置疑，Euclid 几何学引入Descartes 坐标是革命性的突破，这催生了解析几何，为发展函数的微积分提供了舞台。同样，微分几何学引入Cartan 全局分析法的成就也是革命性的。二者的区别如同理论物理学家B. F. Schutz 所言：若前者是单行道，则后者是双行道。在平直Euclid 空间上能构建单一的坐标系，可将几何关系变成简单的代数关系，由此代数与分析成为处理几何问题的有力手段。É. Cartan 在20 世纪上半叶的贡献改变了Descartes 之后几何多依赖于代数与分析开展研究的格局，将几何与分析深度交融，这使得几何学有了外微分等分析运算方法，分析学有了几何视角带来的新概念和新工具。例如，矢量空间拓展成微分流形、空间的Descartes 积拓展成纤维丛、微分方程表示为矢量场、Taylor 级数诱导了Lie 导数、矢量分析中的梯度-旋度-散度算子统一成外微分、矢量空间上的Green 积分公式-Gauss 定理-Stokes 定理统一表示成流形上的Stokes 定理等。由此，现代微分几何学实现了局部与整体的结合、线性与非线性的结合、代数与几何的结合，这样的结合产生了单凭分析学无法达成的效果。例如，微分流形上的de Rham 上同调就是局部微分形式与整体拓扑结构相结合的产物，通过微分形式探测流形的“孔洞”结构；陈示性类通过曲率形式的积分构造拓扑不变量，揭示局部几何与整体拓扑的深刻联系。不仅如此，现代微分几何学的这种相容性还能表达各种动力学系统的运动规律与几何结构的统一性。例如，辛流形上的Hamilton 方程统一了经典力学与相空间的辛几何结构；Einstein引力场方程统一了物质能量-动量张量守恒定律与时空曲率张量的几何性质；Atiyah-Singer指标定理连接量子反常现象与拓扑不变量，成为弦论与凝聚态物理的核心工具；规范场的势及其场强分别对应于纤维丛上的联络和曲率；Calabi-Yau 流形紧化方案成为高维时空几何的核心模型。几何学与物理学的密切关系早在百余年前就被哥廷根学派最后掌门人、著名数学家和物理学家H. Weyl 所洞察，他在其著作《空间、时间与物质》(1918 年) 中，深刻地揭示了几何学与物理学的关系：几何学为自然定律提供结构框架，而物理现象则为抽象几何注入现实意义，这隐喻了几何学是物理学的语法，物理学是几何学的语义。物理规律与几何结构的统一性又促使现代微分几何学成为描述诸多复杂系统的统一框架，流形、纤维丛、联络与Cartan 结构方程、Lie 群与Lie 代数、上同调、外微分与Lie 导数等要素成为诸多动力学系统全局分析的通用工具。如果说现代微分几何学的发展最早得益于现代物理学，那么它的蓬勃朝气还来自它与工程科学日益密切的关系，尤其在处理复杂几何结构和多维空间问题时，现代微分几何学提供了重要的数学工具和分析方法。我们可以罗列几个例证：
① 在机器人学与运动规划方面，作为典型微分流形的Lie 群为机器人的运动分析提供了几何框架，如SO(3) 群和SE(3) 群可用于描述机器人关节运动和姿态调整；微分几何学的曲率计算被用于机器人的轨迹优化；轮式机器人的运动规划与控制离不开非完整约束所确定的纤维丛及其联络结构。② 在计算机图形学方面，复杂曲面的CAD/CAM(计算机辅助设计/计算机辅助制造) 设计软件依赖微分几何学的曲面分析和等距映射工具。
③ 在结构力学和材料力学方面，壳体和薄膜结构的应力-应变方程基于度规张量和曲率张量来表达；材料的旋错和位错分别可用空间的曲率和挠率来量化。
④ 在航空航天领域，飞行器曲面的曲率分布直接影响气动性能，微分几何学可用于设计低阻力外形，实现气动外形优化；航天器的姿态控制、大型航天器材的运动规划、无人机群的柔性编队等密切联系于现代微分几何学；小行星轨道、卫星轨道的超精计算和全球定位系统(GPS) 高精度导航需要考虑时空曲率的相对论修正。
⑤ 在非线性控制方面，针对自动驾驶、飞行控制、微机电系统等结构特性，将系统的状态空间、动态方程和控制输入视为几何对象，克服局部线性化的局限，构造全局分析框架，从而将非线性控制转化为以流形、矢量场、Lie 代数等为工具的几何控制。总之，现代微分几何学对非Euclid 几何学的数学描述可帮助工程师解决传统Euclid 几何学难以处理的复杂问题。此外，信息几何学、几何深度学习等新兴计算工具的发展也将推动现代微分几何学在工程中的实际应用。鉴于上述分析，在物理学、力学和工程科学领域，需要重视现代微分几何方法的引入，使相关领域的青年教师和研究生掌握全局分析方法的基本要领。尽管这方面的国内外学术专著并不少见，但是这些专著或侧重于数学的严谨性，强调基本概念的准确定义和诸多定理的严格证明，而忽视了具体应用所需要的运算方法；或侧重于现代微分几何学的各种专题应用，而淡化概念、定理的数学本源和基本几何方法，把“物理学家用的微分几何学和Lie 群”变成了几何表达下的理论物理学专题。这两种情况都不利于物理学、力学和工程科学工作者学习和掌握现代微分几何学的应用方法。前一种情况缺乏几何的感性直觉，后一种情况缺乏几何方法的系统性，造成“语法”与“语义”相脱节。有鉴于此，有必要撰写一部现代微分几何学的专著，强化微分几何学诸多应用专题的通用数学基础，系统介绍相关的基本概念、基本定理和基本运算，以便适用于大多数的数学物理和工程科学工作者。这样的专著既不是纯粹的现代微分几何学，也不是现代微分几何学的专题应用，而是介于二者之间，为数学物理和工程科学工作者系统介绍应用所需的现代微分几何方法，这种方法正如明末徐光启评价《几何原本》所言：“似至晦实至明……似至繁实至简……似至难实至易。”通过本书的研读与训练，读者将掌握现代微分几何方法对复杂系统的全局分析能力。郭永新教授长期从事几何力学的科学研究和人才培养，在该领域取得丰硕成果。针对力学和工程科学领域对系统化几何工具的迫切需求，他面向高校教师和研究生开设了为期两年的系列课程。在此基础上，他与几位合作者撰写了《数学物理中的现代几何方法》。
阅读书稿，我欣喜地看到该书有别于其他面向数学物理的现代微分几何学专著，其具有如下几个特点：一是对现代微分几何学基础知识的介绍具有相对完整的体系，从有限群和点集拓扑到微分流形及其上的微分形式运算，再到Poincaré 引理和Frobenius 可积性定理，都作了详细介绍；二是对Lie 群与Lie 代数的几何分析比较全面、细致和实用，适于初学者学习；三是对代数拓扑的介绍较为全面，不限于de Rham 上同调，也包括更基础的同伦群和同调群，以及Lie 群上的van Est 同调群，而这是研究动力学系统拓扑结构所必需的数学基础；四是注重理论分析与计算方法的结合，可帮助读者掌握动力学系统全局分析的基本方法。
愿读者将该书作为探索各种动力学系统全景图的指南，在数学、物理学、力学和其他工程科学的交叉融合中，取得新的科学发现，领悟新的科学之美。
胡海岩
中国科学院院士
2025 年5 月
本文摘编自《数学物理中的现代几何方法》（郭永新等著. 北京: 科学出版社, 2026. 9）一书“前言”“序”，有删减修改，标题为编者所加。本书以有限群论和点集拓扑为基础，系统阐述微分流形的概念、性质，以及其上的各种微分运算和重要基本定理。结合典型 Lie 群与 Lie 代数，详细介绍二者的基本概念、相互关系、(余)伴随表示、Lie 群对微分流形的作用、Lie 群与 Lie 代数的分类。书中还细致讨论微分流形的同伦群、同调群、流形上的积分与 de Rham 上同调群，以及 van Est 同调群基础；深入分析主丛(标架丛)和矢量丛上的 Ehresmann 联络、Cartan 结构方程、主丛的和乐群、切丛中的 Koszul 联络及其曲率与挠率。最后介绍现代微分几何学在分析力学中的重要应用。本书可作为物理学、力学和工程科学领域的高年级本科生、研究生的教学用书，也可作为相关领域科研人员的参考书，使用时可根据需求灵活取舍内容。
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发布时间：2026-11-05 08:04:30
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