与高人交流记录（七十九）｜读格罗滕迪克：在敬畏与不解之间

美国数学学会刊发的传记，曾把格罗滕迪克的历史地位与爱因斯坦相比。爱因斯坦改变了人类对时间和空间的理解，格罗滕迪克则重新修建了现代代数几何的地基。

他获得过菲尔兹奖，被公认为20世纪最伟大的数学家之一。今天代数几何专业的研究生习以为常的许多概念，都来自他在20世纪五六十年代建立的新数学。可就在创造力最旺盛、声望达到顶点的时候，他离开了学术中心。此后的人生，又逐渐走向孤独、偏执和精神危机。

前一天晚上，我刚读完拉巴图特《心之心》中写格罗滕迪克的部分。合上书以后，这个人一直留在脑子里。第二天早晨跑步，我没有像往常一样听音乐，而是打开豆包，边跑边聊。我先问：概型到底是怎么被他想出来的？他的思维方式，与大多数数学家有什么不同？

我不打算写一篇讲清楚代数几何的文章，也写不好。我想知道的是，一个人为什么能够看见别人没有看见的东西，甚至意识到，大家一直使用的概念本身就需要改变。

在格罗滕迪克进入代数几何以前，数学家已经能够用方程研究曲线和空间。同一个方程，放在实数、整数或有限的数字系统中，会呈现出不同的解，也会形成不同的几何。过去的数学语言可以分别研究它们，却很难把这些不同的表现放在同一个结构中观察。

格罗滕迪克改变了观察的起点。他不再只关心一个方程有多少个解，而是把方程背后的代数关系也放进空间。点怎样联系，怎样变化，局部保存着什么信息，都成为这个空间的一部分。他把这样的数学对象称为“概型”。

他曾经用一把扇子来解释这个想法。不同数字系统中的几何，如同一根根展开的扇骨；概型则是整把扇子。过去，人们沿着每一根扇骨分别向前走。现在，他们可以看见这些扇骨怎样连在一起，同一个方程在不同环境中的表现，也因此有了共同的来源。

格罗滕迪克继承了塞尔等人的工作，又把这条路推得更远。旧的空间定义容纳不了新的对象，他便重新定义空间；已有的语言无法让几何与数论充分对话，他便建立新的语言。在他手中，概型不只是解决某一道难题的工具，也改变了后来数学家理解问题的方式。

他在《收获与播种》中还写过另一个意象。面对一块坚硬的岩石，有人拿着镐头和凿子不断开掘；他更愿意让海水缓慢上涨。开始时几乎看不出变化，海面离岩石还很远。随着海水一点点漫上来，岩石最终被完全包围，原来的障碍也失去了原来的意义。

这种方法吸引我的地方，是他没有急着寻找更锋利的工具。他先去改变问题所在的环境，或者说换成更高维的问题。

跑到两公里的时候，我很自然地把这个比喻移到了AI身上。今天的AI越来越善于搜索资料、比较方案、组合方法。只要任务足够清楚，它可以在已有的知识体系中迅速找到路径。

我当时得出了一个很痛快的结论：AI负责解题，人负责造海。

继续读格罗滕迪克，我发现事情没有这么整齐。他的学生伊吕齐曾把讨论班讲义交给他。几周以后，讲义上写满了铅笔批注。两个人坐下来，从标点、措辞谈到论证和文章结构，一条条讨论了几个小时。

格罗滕迪克的海，并不是凭借一次灵感突然出现的。一个含混的想法被写成定义，一个看似清楚的概念被重新追问，一处没有察觉的困难，在反复推演中显露出来。更难的是判断应该走多远：走得不够远，仍会被特例困住；走得太远，又可能只剩下一套空泛的说法。他总能找到那个既可以改变问题、又能够落回数学的层次。

这也让我重新考虑，在工作中应该怎样使用AI。比如一个城市更新项目招商困难，最直接的问法是：怎样找到更多商户？AI很快就能列出渠道、品牌和招商策略。但如果项目与周边居民、产业和城市之间的关系尚未建立，再多招商技巧，也未必能解决问题。此时更应该追问：招商困难只是表面现象吗？项目的定位、目标客群和周边关系，是不是从一开始就没有想清楚？

这些问题也可以继续与AI讨论，让它换几个角度，寻找被忽略的条件。不过，新的问法是不是更接近现实，最后还要看它能不能帮助我们重新作出判断。

跑步时，我仍然觉得，人与AI之间或许存在一个差别：AI等待一个任务，人却可能长时间被某个疑问牵引。格罗滕迪克对旧体系解释不了的地方始终保持着兴趣，这种兴趣持续多年，最后形成了一套新的数学。

他的后半生，却让我无法轻松地赞美这种内在动力。

格罗滕迪克后来回忆，从十七岁到四十二岁，他几乎把全部精力都投入了数学。他称这种投入过了头，也承认自己为此经历了漫长的精神停滞。

1970年，他辞去法国高等科学研究所的职位。直接原因是，他发现研究所接受了法国国防部门的资助。离开以后，他去越南反对战争，参与环保运动，创办《生存与生活》，讨论核武器、贫困和生态危机。他希望数学家也能关心，自己的研究最终会被谁使用，又会把世界带向哪里。

响应他的人并不多。在数学界，他曾经是众人围绕的中心；进入社会运动以后，他的判断不再天然获得认同。他尝试建立公社，也试图把政治和生态问题带进数学讲座，大多以冲突告终。

曾与他共同生活的贾斯廷后来回忆，那段时间的格罗滕迪克有时会突然暴怒，随后长时间沉默；有时又不顾身边的人，自顾自地用德语不停说话。她事后怀疑，他当时已经经历了某种精神危机。

他没有就此放弃数学。此后的二十年，他仍然教书、思考和写作，只是不再回到原来的学术中心。1983年，他开始写《收获与播种》。这部数千页的手稿回顾了自己的数学创造，也清算了他与学生、同事以及数学共同体的关系。他认为自己的思想遭到埋葬，一些曾经亲近的人背叛了他。有人把这部书看作罕见的思想自传，也有人认为，其中一些猜疑已经很难得到事实支持。

到了1980年代末，他的精神状态出现了更明显的问题。他相信上帝通过梦境与自己交谈，还在一封寄给朋友们的信中预告，一个“新时代”将在1996年到来。不久后，他又承认，自己可能受到了某些“灵”的欺骗。

这些信写得很有条理，内容却越来越远离现实。朋友和同事开始担忧他的精神状态。现有资料没有留下明确的医学诊断，但他的精神确实出现了问题，这一点已经很难回避。

1990年，他把数学手稿交给朋友，烧掉大约两万五千页私人文字，随后搬进比利牛斯山区。他很少再与外界联系，也不愿别人把写给他的信件转寄过去。

读到这里，我最初的好奇已经变成了不解。一个能够发现旧概念的局限、为整门学科建立新语言的人，为什么越来越难与现实中的人相处，也越来越难分辨内心的启示与外部世界之间的界线？

我敬畏他重建数学世界的能力，也无法理解他后来进入的那个世界。

跑到四公里的时候，豆包反过来问我：“如果有一天，AI也拥有长期记忆，能够自由探索，甚至可以发现旧框架的漏洞，提出新的概念，那么它和格罗滕迪克的创造，还差什么？”

我本来还想继续回答，眼角忽然扫到路边的一片灌木。青黄的底色上缀着一片片红叶，秋日的光落在上面。我停下脚步，拿出手机拍了一张照片，那个问题就这样中断了。

我拍完照片，沿原路往回走。至于豆包的那个问题，我到现在也没有一个确定的答案。