SCM论文 | 单仿射顶点代数在有理层级的伴随簇

一个无穷维的代数，能否借助有限维的几何来研究？伴随簇提供了这样一种可能。它可以被看作这个代数的一个几何剪影：不记录全部细节，但却能反映这个代数的一些重要的性质。比如对于顶点代数来说，如果它的伴随簇是0维的，那么这个顶点代数就只有有限多个不可约的表示。

我们关注一类与李理论以及四维超共形场论有关的顶点代数，叫做单仿射顶点代数。这类顶点代数由一个单的李代数和一个复数（称为层级（level））决定。对可容层级（admissible level），的伴随簇是已知的。不可容层级的情况非常复杂，只有一些零散的已知例子，一直以来缺乏统一的描述。但这些情形中蕴含的数学非常丰富，是我们重点关注的部分。更具体地说，我们关注的是ADE型单李代数，等于一个有理数，其中和是互素的正整数，是的对偶Coxeter数。我们的工作提出了第一个能统一描述这些的伴随簇的猜想，并和所有已知的计算结果做了交叉验证。这个猜想产生的背景来自于我们的一个更大的研究目标，即探索单仿射顶点代数的表示与的朗兰兹（Langlands）对偶的仿射Springer纤维的几何之间的联系。

在层级是整数（即=1）的时候，我们对每一个正整数定义了一个在中的幂零轨道（一个中的几何对象）。通过Barbasch-Vogan-Lusztig-Spaltenstein的构造，可以从得到中的一个幂零轨道。我们猜想的伴随簇是一个与密切相关的一个簇。详见此前的论文[2]和[3]。

在最近发表于《中国科学：数学（英文版）》的文章[1]中，我们将之前的猜想推广到了是有理数的情况。这个推广是受到高帆、刘柏英、罗启恒、Freydoon Shahidi 在进覆叠群表示的工作的启发而得到的。实际上，仿射顶点代数的表示和仿射李代数的表示密切相关，而后者和进群的表示理论有很多相似的地方。更具体地说，当的时候，仿射顶点代数在层级的表示和进群的重覆叠群的表示很类似。对于后者，高帆、刘柏英、罗启恒、Freydoon Shahidi通过推广Barbasch-Vogan-Lusztig-Spaltenstein的构造，提出了进覆叠群表示的波前集（wavefront set）的上界猜想[4]。我们将他们的构造融入到了我们的研究中。

我们的猜想与 Arakawa 在可容层级下的结果一致，也和许多W代数的已知结果吻合。虽然一般情形还有待证明，但这个猜想首次将单仿射顶点代数的所有大于临界层级的有理层级的伴随簇放在统一的几何框架下理解，为研究这类顶点代数的结构与表示提供了新的思路。该猜想也可以应用到理论物理的研究之中，揭示四维超对称场论的库伦分支和希格斯分支的新联系，并给出一系列Argyres-Douglas理论的希格斯分支。

【参考文献】

[1] Shan P, Yan W B, Zhao Q X. Associated varieties of simple affine vertex algebras at rational levels. Sci China Math, 2026, 69, https://doi.org/ s11425-026-2667-7

[2] Shan P, Yan W B, Zhao Q X. Cyclotomic level maps and associated varieties of simple affine vertex algebras. arXiv:2507.09254, 2025

[3] Shan P, Yan W B, Zhao Q X. Affine vertex algebras and an affine analog of Barbasch-Vogan’s construction. arXiv:2608.00428, 2026

[4] Gao F, Liu B Y, Lo C-H, Shahidi F. Covering Barbasch–Vogan duality and wavefront sets of genuine representations. arXiv:2511.14750, 2025

作者简介

单芃

清华大学丘成桐数学科学中心与数学科学系教授、博士生导师，从事几何表示论及相关交叉领域的研究，在双仿射Hecke代数的表示、范畴化、小量子群中心、W代数的表示与仿射Springer纤维的联系等方向取得一系列重要成果。

颜文斌

清华大学丘成桐数学科学中心副教授、博士生导师。主要研究方向为超对称场论以及相关的数学。同合作者一起，颜文斌发现了S类理论中超共形指标的拓扑场论结构，以及其与Macdonald多项式的联系；深入研究了Argyres-Douglas理论和顶点算子代数的对应，并利用四维理论的对偶系统建立了不同顶点算子代数的同构；建立了边界可容顶点算子代数单模和仿射Springer纤维不动点的一一对应。在国际著名刊物上发表论文三十余篇，总引用超过2,000余次。在2016国际弦论大会上作邀请报告，2025年受邀分别在西蒙斯几何与物理中心和京都大学数理解析研究所讲授短期课程，研究结果在国内外同行中产生了广泛的影响。

赵启弦

清华大学丘成桐数学科学中心助理教授，研究方向为几何表示论，主要关心实群、p进群、半单李代数、仿射李代数、顶点代数的表示论以及相关的几何，在这些方向上取得一系列重要成果。