OpenAI在10月初集中发布的证明中，包含了一项数论领域的里程碑结果：一个声称证明了所谓的“朗道–西格尔零点（Landau-Siegel zeros）”不存在。这一结果被该公司对广义拟黎曼猜想（Riemann hypothesis）的证明所掩盖，因为后者自动蕴含了这些特殊零点的不存在。但朗道–西格尔零点结果本身具有极高的学术意义。

数学家利用所谓的zeta函数来探究素数的分布规律。为了进一步研究素数如何与其他数相互作用，他们使用L函数，即zeta函数的推广形式。朗道–西格尔问题和广义拟黎曼问题都关乎数论中重要的一类特殊L函数。本质上，朗道-西格尔零点问题的核心就是探究素数的行为规律。正如蒙特利尔大学的Andrew Granville所说：“西格尔零点的存在，意味着某种完全反常的现象出现了。”

L函数的输入是复数，每个复数都有两部分：实部和虚部（即–1的平方根的倍数，数学家称之为i）。广义黎曼猜想断言，除一些平凡例外，这类L函数的零点全部位于输入实部为1/2的直线上。（“拟”版本则不那么严格。）

如果广义黎曼猜想被证明为假，就意味着可能存在其他零点。一个潜在的零点离实部1/2越远，它对素数预期分布规律造成的破坏就越大。朗道–西格尔零点正由此而来。这些是假想中的零点，其虚部为0，实部非常接近1（在此问题的语境下，这离1/2非常远）。这使得这些零点的研究尤为重要。

数学家早已知道zeta函数本身没有朗道–西格尔零点。尽管大量数值验算都指向这类零点几乎不可能存在，但无人能严格排除某些其他L函数可能存在这种零点的可能性。如果此类零点存在，这一事实可被用于证明许多其他重要结果——包括孪生素数猜想，即存在无穷多对相差为2的素数（如11和13，或17和19）。“如果你有一个西格尔零点，许多原本难以推进的问题都会以意想不到的方式迎刃而解，”Granville说。

“现在这一切都无关紧要了，”他补充道。

在OpenAI发布其朗道–西格尔零点不存在的证明之后的数周里，数学家们一直在发布该结果越来越简化的版本。

牛津大学的Ben Green给出的一种重新表述，正如Terence Tao（陶哲轩）所写，是“特别优雅的”。Green通过与OpenAI的Astra模型对话获得了他的证明，并谦称“不主张任何人类原创性”。Jacob Pescador、Kevin Barreto和Roelof van Dijk使用Astra和Anthropic的Opus 5.5进一步优化了Green的重构版本。

“我通常不会直接阅读AI论文，”堪培拉新南威尔士大学的Bryce Kerr说，他汇编了西格尔结果的另一份重新证明。“我的流程是先让AI解释新想法或‘整体框架’，然后我自己尝试填补所有细节。如果卡住了，我会回去问AI更多问题。我想这类似于请人类作者解释他们的一篇论文。”

过去数论界围绕成果首发权的竞争，如今似乎正在演变为一场新的竞赛：看谁能想出最短、最简单的证明。剑桥大学本科生Barreto的版本仅有三页。“人们以为我在试图优化页数，”Barreto写道。“我其实是在试图优化更初等的经典工具，结果恰好因此缩短了证明。”

64岁的Granville说，对他这一代的许多数论学家而言，黎曼猜想始终显得过于令人生畏。但他和其他人花了数十年试图证明朗道–西格尔零点不存在，却未能成功。他说：“对我而言，看到这个证明的那一刻情绪非常复杂，某种程度上它比拟黎曼假说的证明更让我触动，因为这才是我真正倾尽心力想要完成的目标。”

参考链接：https://www.quantamagazine.org/updates/transformation/

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