弗雷格说“数是什么？这是一个最根本的问题。如果我们对这个问题都不能清楚回答， 岂不是一个笑话？”

他又说：“数学的本质就在于， 一切能证明的都要证明， 而不是通过归纳法来验证。因此， 我们也应考虑如何来证明关于正整数的命题。”

弗雷格由此提出：数的陈述包含着关于一个概念的陈述。例如，“金星有0颗卫星”，说的是没有任何对象符合“金星的卫星”这个概念。要回答“有多少”，首先必须明确“数什么”。

不同的东西为什么能够一样多？关键在于一一对应：给每个盘子配上一把餐刀，如果都不重不漏，就能确定盘子与餐刀等数，无须先数出各有多少。

接下来，弗雷格先定义0。他选择“与自身不相等”这个概念：0是归属于“与自身不等同”这一概念的数目。这样便无须观察某个盘子是否空着，仅凭逻辑就能确定。有了0，再考察“等于0”这个概念，符合它的只有0本身。于是，他定义：1是归属于“等于0”这一概念的数。

由此以往：2 是属于概念 “同于 0 或同于 1” 的数，3是属于概念 “同于 0 或同于 1 或同于 2” 的数……由此可见， 自然数序列中的每一个数， 都有一个直接后继的数。这样， 自然数就由 0 和后继函数确定下来了。

从“1是什么”出发，弗雷格追问的，其实是整个算术凭什么成立。译者凌复华教授将全书的论证脉络梳理为“批判—奠基—建构”：先检查已有答案，再提出自己的定义，最后考察这些定义能走多远。

首先是清理地基。数来自经验的积累吗？是脑中的心理图像吗？还是把许多个“一”堆在一起的结果？弗雷格逐一审查这些解释，指出它们的困难。他要区分的，是我们如何学会数数，以及算术命题为什么为真：前者可以涉及经验和心理，后者却需要独立的论证。

接着，他从包含数的陈述入手，通过概念、一一对应和概念的外延，为数寻找逻辑定义，再定义0、1以及后继关系，把对单个数的解释推进到对自然数序列的考察。

他的目光也没有停在自然数上。无穷数以及分数、负数、复数等，进一步提出了问题：写下一个符号、规定一种运算，是否就足以保证一个数的存在？弗雷格要求说明这些符号指向什么，以及何时可以认定它们指向同一个数。

全书最终指向一个宏大的设想：算术能够建立在逻辑之上。不过，弗雷格也承认，要把这一主张提升为严格的确定性，还需要补足完整的推理链条。《算术基础》既提出了答案，也为进一步的证明标出了道路。

面对弗雷格的论证，读者难免会问：我们应该怎样理解这些既熟悉又陌生的数字？凌复华教授归纳了三大基本原则，它们也是进入这本书的三把钥匙。

沿着这三条原则读下去，我们会发现，弗雷格始终在要求读者辨明：自己脑中的印象、句子表达的内容，以及所谈论的对象，究竟是什么关系。

今天，我们为什么还要读《算术基础》？凌复华教授指出，这本书的价值远远超出其具体结论。即使弗雷格后来建立的形式系统遭遇了罗素质疑，他提出问题、分析概念和展开论证的方式，仍然值得认真学习。

首先，它是思想史上的里程碑。本书提出的反心理主义、语境原则和概念—对象区分三大方法论，为20世纪语言哲学的转向奠定了基础，成为理解分析哲学起源的关键。弗雷格对“数是什么”的追问，以及对经验主义、心理主义、形式主义的系统批判，树立了用清晰的概念分析和逻辑论证来处理根本哲学问题的范例。

其次，它是哲学与逻辑方法的卓越示范。全书如同一场思维训练，展示了如何通过精确的定义和环环相扣的推理来建构理论。语境原则（在句子中追问词的意义）是现代语义学和语言哲学的源头，其力量在本书中得到了充分体现。

此外，它还留下了历久弥新的技术性遗产。尽管其公理体系存在矛盾，但弗雷格的核心逻辑洞见被证明是基本正确的。从20世纪80年代起，以“弗雷格定理”的发现为标志，他的思想得到了复兴。这一发现催生了“新逻辑主义”（或“新弗雷格主义”），它绕开了导致矛盾的基本法则Ⅴ，尝试将算术奠基于休谟原则这一被认为是逻辑或分析真理的原则。

这本书的永恒魅力，在于它示范了一种通过逻辑和语言分析来解决根本哲学问题的全新范式， 直接开启了分析哲学的时代。