丢番图方程x²+y²+z²=3xyz称为Markov方程，其正整数三元组解称为Markov三元组，而Markov三元组中的任意一个元素称为Markov数[1]。容易验证，(1,1,1)、(1,1,2) 、(1,2,5) 均为Markov三元组，因此1、2、5 都是 Markov 数。更一般地，任意Markov三元组都可以通过(1,1,1)作迭代韦达跳跃得到[1]。Frobenius于 1913 年提出如下猜想：不同 Markov 三元组的最大元两两不同[4]。该猜想被称为唯一性猜想。

Markov方程与带一个刺穿点的环面上的双曲结构天然地联系在一起，进而又与该环面所对应的丛代数相联系[1,2,3]。更具体地说，丛代数的所有丛变量都与某个Markov数对应。考虑环面的万有覆盖以及丛变量与环面上不自相交曲线（弧）之间的一一对应，这种联系诱导出一个从平面中满足p>q>0、(p,q)=1的整点(p,q)到全体Markov数的映射，而唯一性猜想等价于该映射是单射[6]。借助环面上曲线与丛代数元素的对应关系，可以对平面中任一满足p>q>0的整点(p,q)赋予一个整数，称为广义 Markov 数[6,7,8]。广义唯一性猜想断言不同整点对应的广义Markov数两两不同，这一断言加强了 Frobenius 的唯一性猜想[5]。

Lee等人于2020年左右引入了平面上整点之间的Markov距离[6]，并证明了它满足Ptolemy不等式。他们进一步研究了广义Markov数沿给定斜率直线的单调性，并针对严格单调情形猜测了斜率的上、下确界。

我们最新在线发表在Science China Mathematics的论文引入了给定斜率直线上广义Markov数的比率（ratio）概念，它可以看作广义 Markov 数的离散方向导数。具体而言：广义Markov数单调递增当且仅当其比率在该直线上恒大于 1 ；单调递减当且仅当其比率恒小于1。利用这一比率，我们证明了 Lee等人关于严格单调斜率上、下确界的猜想，并进一步证明了：在每一条非单调直线上，广义Markov 数总是先递减、再递增。作为直接推论，在单调直线上广义 Markov 数总是两两不同。因此，为证明百年未决的唯一性猜想，只需考察非单调区域即可。

【参考文献】

[1] Aigner M. Markov's Theorem and 100 Years of the Uniqueness Conjecture: A Mathematical Journey from Irrational Numbers to Perfect Matchings. Cham: Springer, 2013

[2] Beineke A, Br\"{u}stle T, Hille L. Cluster-cylic quivers with three vertices and the Markov equation. With an appendix by Otto Kerner. Algebr Represent Theory, 2011, 14: 97-112

[3] Fomin S, Shapiro M, Thurston D. Cluster algebras and triangulated surfaces. Part I: Cluster complexes. Acta Math, 2008, 201: 83-146

[4] Frobenius G. \"{U}ber die Markoffschen Zahlen. S B Preuss Akad Wiss Berlin, 1913, 458-487; available in Gesammelte Abhandlungen Band III. Berlin: Springer, 1968, 598-627

[5] Lagisquet C, Pelantov\'{a} E, Tavenas S, et al. On the Markov numbers: Fixed numerator, denominator, and sum conjectures. Adv Appl Math, 2021, 130: 102227

[6] Lee K, Li L, Rabideau M, et al. On the ordering of the Markov numbers. Adv Appl Math, 2023, 143: 102453

[7] Musiker G, Schiffler R, Williams L. Bases for cluster algebras form surfaces. Compos Math, 2013, 149: 217-263

[8] Musiker G, Williams L. Matrix formulae and skein relations for cluster algebras from surfaces. Int Math Res Not IMRN, 2013, 2013: 2891-2944

作者简介

黄敏

中山大学数学学院（珠海）副教授，博士生导师。主要研究方向是丛代数及其相关课题。主持多项国家自然科学基金、广东省自然科学基金。在Adv Math、Selecta Math、Trans Amer Math Soc、Science China Mathematics等杂志发表论文十余篇。