为什么违背贝尔不等式是一件好事？ | 科学世界·视点

1964年，贝尔发表了论文《论EPR悖论》（On the Einstein Podolsky-Rosen Paradox）。他指出，玻尔和爱因斯坦的争论并不像表面看上去那样空对空，而是可以实验判决的。如何判决？这就是我们下面要讲的重点了。

贝尔的论文

在EPR或者说正统派的物理学家看来，一个好的理论应该满足两个条件，分别叫作“定域性”（locality）和“实在性”（realism）。定域性是指一个事件的影响需要经过一定的时间才能传到其他地方，即信息传输不能超光速。实在性是指物理量在测量之前就有确定的值，也就是说它具有不依赖于测量的取值。定域性和实在性加起来，就叫作“定域实在论”。

乍看起来这两个条件都很合理，而且是如此的宽泛，很难想象它们能推出什么可观测的后果。但贝尔指出，定域实在论其实会对测量结果施加一个限制，而量子力学的测量结果可以违反这个限制！所以观测真实世界是否满足这个限制，就可以判断是量子力学正确，还是爱因斯坦正确！

具体而言，这种限制往往表现为不等式形式，称为“贝尔不等式”。贝尔不等式不是一个不等式，而是一类不等式。任何既定域又实在的理论都满足这个不等式。通过对不等式的实验检验，可以判断真实世界是否能够被定域实在论描述。

说到这里，大家可能还是有点不知所云。下面来举一个教材中最常见的例子。它并不是贝尔最初提出的版本，而是四位科学家在贝尔之后提出的更容易理解的版本，称为CHSH（四位科学家的首字母缩写）不等式。

假设有两个待测体系，分开一段距离，对一个体系的测量结果即使以光速传播，也来不及影响对另一个体系的测量。用狭义相对论的语言说叫作“类空间隔”。再假设两个体系各自有两个可测的物理性质，比如说一号体系的两个性质是A和B，二号体系的两个性质是C和D，而所有性质的取值都只有正负1两个选择。每次实验的时候，两个观测者分别对这两个体系各挑一个性质来测量，比如说对一号体系挑了A，对二号体系挑了D，那么我们就知道了当前的A和D，而不知道B和C。

现在考察一个特别的测量值组合：AC＋BC＋AD－BD。

稍微组合一下就得到：AC＋BC＋AD－BD＝(A＋B)C＋(A－B)D。

A和B的取值只有正负1，因此A＋B和A－B这两者当中必然有一个是0，另一个是正2或负2。假如是A＋B＝0，那么右边就只剩下正负2D。而假如是A－B＝0，那么右边就只剩下正负2C。

C和D的取值也是只有正负1，所以无论是正负2C还是正负2D，最终的取值都只有正负2这两种可能。由此我们得到结论：AC＋BC＋AD－BD＝±2

前面谈的都是确定性的实验，下面再来引进一些随机性。假如A、B、C和D这些性质并不是事先就完全确定，而是有一定的概率分布，这个概率分布是事先确定的，对此一般的描述是概率分布函数p(a, b, c, d)，它是这些大写字母A、B、C、D的取值分别为这些小写字母a、b、c、d（取值只能是正负1）时的概率。考察组合的平均值或者说期望值，就会得到：

AC＋BC＋AD－BD＝Σ_abcdp(a, b, c,d)(ac＋bc＋ad－bd)

考虑到ac＋bc＋ad－bd只有正负2两个取值，我们会发现，这个期望值必然小于等于2，大于等于-2。也就是|AC＋BC＋AD－BD|≤2。

这个不等式告诉我们，假如我们做了4万次测量，分别测了1万次AC、1万次BC、1万次AD和1万次BD，分别算出了四者的期望值，再把它们加加减减得到这个组合的期望值，那么必然会发现它处于正负2之间。

其实就是实在性，即A、B、C、D这些物理量在测量之前就有确定的值。还有就是定域性，即不允许两个体系之间传递信息，杜绝它们串通作弊。这意味着，对任何一个经典的体系，或者更广而言之，对任何一个满足定域实在论的体系，都必然会发现这个组合的平均值的绝对值小于等于2。

然而，下面就是震撼的时刻：量子力学的纠缠态可以突破这个不等式！

具体而言，用狄拉克符号可以制备一个双粒子纠缠态，即EPR对：

把这两个粒子分别发到两个地方，作为两个待测体系。然后对于A、B、C、D这4个待测性质，分别定义如下：

这里的下标1和2分别表示一号粒子（体系）和二号粒子（体系），Z和X是两个泡利矩阵，分别与z方向和x方向的自旋有关。Z和X是两个操作或者说算符，作用到|0〉和|1〉这两个基本状态上会得到新的状态。

根据这些定义，就可以计算AC、BC、AD和BD这四者的期望值。然后有趣的事情发生了，计算结果是：

前三个都是正的，第四个是负的。在AC＋BC＋AD－BD这个组合中，不也正好是前三个都是正的，第四个是负的吗？于是我们发现，

这是怎么回事？！我们前边不是已经严格推出，〈AC＋BC＋AD－BD〉不可能大于2吗？怎么这里就推翻了它？

其实这正说明这个推导的前提对量子力学不适用，即量子力学不满足定域实在性。这跟不确定性原理也有关系。Z和X这一对物理量，是不能同时确定的，它们的不确定度相乘有个最小值。

在经典力学或者任何满足定域实在性的理论里，我们默认在任何一个时刻，A、B、C、D这些量都有定义，但在量子力学中并非如此。你如果选择了测量一个粒子的Z（A的值），那么同时它就不会有一个确定的X（B的值），反之亦然。所以前边那些推理，如A和B都只能取正负1，因此A+B和A-B中必然有一个是0、有一个是正负2等，从根基上就不成立了。

经典力学中，AC＋BC＋AD－BD的当前值就是把A、B、C、D的当前值代进去。但在量子力学中不是这样，可以测量A、B、C、D的当前值，也可以测量AC＋BC＋AD－BD的当前值，但后者并不等于前者的当前值代进去得到的值。因为当测量AC＋BC＋AD－BD的时候，是在强迫体系落到AC＋BC＋AD－BD的本征态上，它并不是A、B、C、D中任何一个的本征态，这时候A、B、C、D中的任何一个并没有确定的值。当你测了一次AC＋BC＋AD－BD之后，当然可以去测A、B、C、D，然后根据它们的测量值算出一个AC＋BC＋AD－BD的取值（必然等于正负2），但这跟前面测得的AC＋BC＋AD－BD没有关系。

在量子力学中我们仍然可以测量AC＋BC＋AD－BD的期望值，它完全可以超过2。在实验表现上，测得AC、BC、AD和-BD取1的概率比经典情况高，取-1的概率比经典情况低，最终把平均值拉到了2以上。

现在对此的描述是，量子力学可以表现出超越经典的关联。这就是贝尔不等式的意义。其实，现在实验上对量子纠缠的判断标准就是超出经典的关联。

到这里为止全都是理论推导，不过贝尔这篇文章并不是对真实世界是否满足定域实在论给出了判决，而是指出了一种判决的方法，即做这个纠缠态关联的实验，看结果是否满足贝尔不等式。

有意思的是，贝尔本人想证明爱因斯坦是对的。然而，贝尔的实验方案并没有产生他希望的效果。从20世纪70年代开始，不断地有人做贝尔不等式的测量实验。实验以越来越高的精度证明了现实世界不满足贝尔不等式，证明了量子力学的正确。现在贝尔实验成了量子信息中的标准操作，绝大多数用到量子纠缠的实验方案都会在某个环节进行贝尔实验，用来检验是否真正产生了纠缠。

所以我们现在很清楚，真实世界满足量子力学，不满足定域实在论。但我们的世界究竟是不定域？还是不实在？还是既不定域也不实在？目前的实验还无法判决。

2022年，三位贝尔实验的先驱（美国的克劳泽、法国的阿斯佩和奥地利的蔡林格）获得了诺贝尔物理学奖。贝尔1990年去世了，享年62岁。如果他活着，应该会得奖。事实上，他对科学的影响比大多数诺贝尔奖获得者更大更深远。

2022年三位诺贝尔物理学奖得主

（图源：nobelprize.org）

三人获奖的理由是“通过纠缠光子实验建立了贝尔不等式的违背以及开拓了量子信息科学”。

什么叫作“确立了贝尔不等式的违背”？

为什么违背是一件好事？

为什么这对量子信息科学有开创之功？

有了前面的解读，就可以理顺这些逻辑了。

贝尔不等式告诉我们，纠缠态可能会关联一些深刻的事。在历史上，量子信息科学的很多进步都来自问一个简单的问题：“在这个问题上，量子纠缠会给我们带来什么？”在量子信息的许多领域，如量子隐形传态、超密编码、测量仪器无关的量子密钥分发以及原子钟、磁强计、陀螺仪等，量子纠缠都发挥了或有望发挥关键作用。量子通信和量子精密测量都只是可以用量子纠缠，而不是必须用量子纠缠。但量子计算是完全离不开量子纠缠的。如果一台所谓量子计算机没有量子纠缠，它就不可能超越经典计算机。

磁强仪（图源：维基百科）

更大的图景是，量子纠缠是一种新的资源，就像能量、信息、材料一样。用量子资源，有可能实现一些用经典资源无法实现的事。唯一的问题是我们现在对这种资源的理解还远远不够深入。例如直到现在，对纠缠度的定量描述还没有一个统一的定义。量子信息研究者经常把纠缠比作青铜时代的铁，意思是一方面它很重要，一方面我们还不太会用它。但无论如何它必然会在下一个时代大放异彩。

如果把视角放得更大，我们从贝尔的故事中学到的更普遍的教益，就是哲学问题有可能上升为科学问题。能够准确描述、定量研究、实验判断的问题是科学问题。一个问题从无法精确研究上升到可以精确研究了，它就变成了科学问题，这是一种进步。

贝尔的贡献，就是把量子力学与定域实在论的关系这个哲学问题变成了科学问题。无论后续的实验结果如何，是否跟他最初的设想一致，提出这个实验方案本身就是最伟大的进步。现在科学前沿仍然有很多模糊不清、甚至不知道如何描述的问题，如量子力学与意识的关系、与测量的关系。如果有人能把这些问题转化为科学问题，必将是划时代的成果。

最后，让我们向贝尔的勇气和洞察力致敬。贝尔在很多方面都跟爱因斯坦很像，例如他们都是在某个时期以一人之力改变了物理学的方向，都是对量子力学发起挑战，也都失败了，然而他们的挑战极大地加深了我们对量子力学的理解。